Высота пирамиды. Как ее найти? Объем треугольной пирамиды Объем площадь треугольной пирамиды равна
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Пирамидой называют многогранник, основанием которого является произвольный многоугольник, а все грани представляют собой треугольники с общей вершиной, являющейся вершиной пирамиды.
Пирамида – это объемная фигура. Именно поэтому довольно часто требуется найти не только ее площадь, но и объем. Формула объема пирамиды очень проста:
где S – площадь основания, а h – высота пирамиды.
Высотой пирамиды называется прямая, опущенная из ее вершины к основанию под прямым углом. Соответственно, чтобы найти объем пирамиды, необходимо определить какой многоугольник лежит в основании, рассчитать его площадь, узнать высоту пирамиды и найти ее объем. Рассмотрим пример расчета объема пирамиды.
Задача: дана правильная четырехугольная пирамида.
Стороны основания a
= 3 см, все боковые ребра b
= 4 см. Найдите объем пирамиды.
Для начала вспомним, что для расчета объема потребуется высота пирамиды. Мы можем найти ее по теореме Пифагора. Для этого нам потребуется длина диагонали, а точнее – ее половина. Тогда зная две из сторон прямоугольного треугольника, мы сможем найти высоту. Для начала находим диагональ:
Подставим значения в формулу:
Высоту h
мы найдем с помощью d
и ребра b
:
Теперь найдем
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока .
Образовательная: Вывести формулу для вычисления объема пирамиды
Развивающая: развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.
Воспитательная: воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.
Оборудование и материалы: компьютер, экран, проектор, презентация “Объем пирамиды”.
1. Фронтальный опрос. Слайды 2, 3
Что называется пирамидой, основанием пирамиды, ребрами, высотой, осью, апофемой. Какая пирамида называется правильной, тетраэдром, усеченной пирамидой?
Пирамида - многогранник, состоящий из плоского многоугольника , точки , не лежащей в плоскости этого многоугольника и всех отрезков , соединяющих эту точку с точками многоугольника.
Данная точка называется вершиной пирамиды, а плоский многоугольник - основанием пирамиды. Отрезки , соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами . Высота пирамиды - перпендикуляр , опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды. Пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник , а основание высоты совпадает с центром основания называется правильной n-угольной пирамидой. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту. Правильная треугольная пирамида называется тетраэдром. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, то она отсечет пирамиду, подобную данной. Оставшаяся часть называется усеченной пирамидой.
2. Вывод формулы для вычисления объема пирамиды V=SH/3 Слайды 4, 5, 6
1. Пусть SABC – треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС.
2. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой.
3. Эта призма составлена из трех пирамид:
1) данной пирамиды SABC.
2) пирамиды SCC 1 B 1 .
3) и пирамиды SCBB 1 .
4. У второй и третьей пирамид равные основания СС 1 В 1 и В 1 ВС и общая высота, проведенная из вершины S к грани параллелограмма ВВ 1 С 1 С. Поэтому у них равные объемы.
5. У первой и третьей пирамид тоже равные основания SAB и BB 1 S и совпадающие высоты, проведенные из вершины С к грани параллелограмма АВВ 1 S. Поэтому у них тоже равные объемы.
Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны SH/3.
Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
3. Закрепление нового материала. Решение упражнений.
1) Задача № 33 из учебника А.Н. Погорелова. Слайды 7, 8, 9
По стороне основания? и боковому ребру b найдите объем правильной пирамиды, в основании которой лежит:
1) треугольник,
2) четырехугольник,
3) шестиугольник.
В правильной пирамиде высота проходит через центр окружности, описанной около основания. Тогда: (Приложение)
4. Исторические сведения о пирамидах. Слайды 15, 16, 17
Первым из наших современников, кто установил ряд необычных явлений, связанных с пирамидой, был французский ученый Антуан Бови. Исследуя пирамиду Хеопса в 30-х годах двадцатого столетия, он обнаружил, что тела мелких животных, случайно попавших в царскую комнату, мумифицировались. Причину этого Бови объяснил для себя формой пирамиды и, как оказалось, не ошибся. Его труды легли в основу современных исследований, в результате которых за последние 20 лет появилось множество книг и публикаций, подтверждающих, что энергия пирамид может иметь прикладное значение.
Тайна пирамид
Некоторые исследователи утверждают, что пирамида содержит в себе огромное количество информации о строении Вселенной, Солнечной системы и человека, закодированной в ее геометрической форме, а точнее, в форме октаэдра, половину которого и представляет пирамида. Пирамида вершиной вверх символизирует жизнь, вершиной вниз – смерть, потусторонний мир. Точно так же, как составные части Звезды Давида (Маген Давид), где треугольник, устремленный вверх, символизирует восхождение к Высшему Разуму, Богу, а треугольник, опущенный своей вершиной вниз, символизирует нисхождение души на Землю, материальное существование...
Цифровое значение кода, которым зашифрована в пирамиде информация о Вселенной, число 365, выбрано не случайно. Прежде всего, это годичный жизненный цикл нашей планеты. Кроме того, число 365 состоит из трех цифр 3, 6 и 5. Что они означают? Если в Солнечной системе Солнце проходит под номером 1, Меркурий – 2, Венера – 3, Земля – 4, Марс – 5, Юпитер – 6, Сатурн – 7, Уран – 8, Нептун – 9, Плутон – 10, то 3 – это Венера, 6 – Юпитер и 5 – Марс. Следовательно, Земля особенным образом связана именно с этими планетами. Сложив числа 3, 6 и 5, получаем 14, из которых 1 – это Солнце, а 4 – Земля.
Число 14 вообще имеет глобальное значение: на нем, в частности, основано строение кистей рук человека, общее число фаланг пальцев каждой из которых тоже 14. Этот код имеет отношение и к созвездию Большой Медведицы, в которую входит наше Солнце, и в котором некогда была еще одна звезда, погубившая Фаэтон, планету, находившуюся между Марсом и Юпитером, после чего в Солнечной системе появился Плутон, и изменились характеристики остальных планет.
Многие эзотерические источники утверждают, что человечество Земли уже четыре раза переживало всемирную катастрофу. Третья лемурианская раса знала Божественную науку о Вселенной, потом эту тайную доктрину передавали только посвященным. В начале циклов и полуциклов звездного года они строили пирамиды. Они вплотную подходили к открытию кода жизни. Цивилизации Атлантиды многое удавалось, но на каком-то уровне познания их остановила очередная планетарная катастрофа, сопровождавшаяся сменой рас. Вероятно, посвященные хотели передать нам, что в пирамидах заложено знание космических законов...
Специальные устройства в виде пирамид нейтрализуют негативное электромагнитное излучение на человека от компьютера, телевизора, холодильника и других электробытовых приборов.
В одной из книг описан случай, когда пирамида, установленная в салоне автомобиля, сокращала расход топлива и снижала содержание СО в отработанных газах.
Выдержанные в пирамидах семена огородных культур имели лучшую всхожесть и урожайность. В публикациях даже рекомендовалось замачивать семена перед посевом в пирамидной воде.
Было обнаружено, что пирамиды благотворно влияют на экологическую обстановку. Устраняют патогенные зоны в квартирах, офисах и дачных участках, создавая положительную ауру.
Голландский исследователь Пауль Дикенс в своей книге приводит примеры о лечебных свойствах пирамид. Он заметил, что с их помощью можно снимать головные боли, боли в суставах, останавливать кровотечения при небольших порезах и то, что энергия пирамид стимулирует обмен веществ и укрепляет иммунитет.
В некоторых современных публикациях отмечается, что лекарства, выдержанные в пирамиде, сокращают курс лечения, а перевязочный материал, насыщаясь положительной энергетикой, способствует заживлению ран.
Косметические крема и мази улучшают свое действие.
Напитки, в том числе и спиртные, улучшают свои вкусовые качества, а вода, содержащаяся в 40-% водке становится целебной. Правда для того, чтобы зарядить положительной энергией стандартную бутылку 0,5 литра, понадобится высокая пирамида.
В одной газетной статье рассказывается о том, что если хранить ювелирные изделия под пирамидой они самоочищаются и приобретают особый блеск, а драгоценные и полудрагоценные камни аккумулируют положительную биоэнергетику и потом постепенно ее отдают.
По утверждению американских ученых, продукты питания, например крупа, мука, соль, сахар, кофе, чай, побывав в пирамиде, улучшают свои вкусовые качества, а дешевые сигареты становятся похожими на своих благородных собратьев.
Возможно, для многих это будет не актуально, но в маленькой пирамиде самозатачиваются старые бритвенные лезвия, а в большой пирамиде вода не замерзает при -40 градусах по Цельсию.
По утверждению большинства исследователей, все это является доказательством существования энергии пирамид.
За 5000 лет своего существования, пирамиды превратились в некий символ, олицетворяющий стремление человека достичь вершины знаний.
5. Подведение итогов урока.
Список используемой литературы.
1) http://schools.techno.ru
2) Погорелов А. В. Геометрия 10-11, издательство “Просвещение”.
3) Энциклопедия “Древо познания” Маршалл К.
Одной из самых простых объемных фигур является треугольная пирамида, поскольку она состоит из наименьшего числа граней, из которого можно образовать фигуру в пространстве. В данной статье рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти объем треугольной правильной пирамиды.
Треугольная пирамида
Согласно общему определению пирамида представляет собой многоугольник, все вершины которого соединены с одной точкой, не расположенной в плоскости этого многоугольника. Если последний представляет собой треугольник, то вся фигура называется треугольной пирамидой.
Рассматриваемая пирамида состоит из основания (треугольника) и трех боковых граней (треугольников). Точка, в которой соединены три боковые грани, называется вершиной фигуры. Опущенный на основание перпендикуляр из этой вершины является высотой пирамиды. Если точка пересечения перпендикуляра с основанием совпадает с точкой пересечения медиан треугольника в основании, тогда говорят о правильной пирамиде. В противном случае она будет наклонной.
Как было сказано, основание треугольной пирамиды может представлять собой треугольник общего типа. Однако если он является равносторонним, а сама пирамида прямой, тогда говорят о правильной объемной фигуре.
Любая треугольная пирамида имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Если длины всех ребер равны между собой, тогда такая фигура называется тетраэдром.
общего типа
Прежде чем записать правильной треугольной пирамиды, приведем выражение этой физической величины для пирамиды общего типа. Это выражение имеет вид:
Здесь S o - площадь основания, h - высота фигуры. Это равенство будет справедливым для любого типа основания многоугольника пирамиды, а также для конуса. Если же в основании находится треугольник, имеющий длину стороны a и высоту h o , опущенную на нее, тогда формула для объема запишется так:
Формулы объема правильной треугольной пирамиды
Правильная пирамида треугольная имеет равносторонний треугольник в основании. Известно, что высота этого треугольника связана с длиной его стороны равенством:
Подставляя это выражение в формулу для объема треугольной пирамиды, записанную в предыдущем пункте, получаем:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Объем правильной пирамиды с треугольным основанием является функцией длины стороны основания и высоты фигуры.
Поскольку любой правильный многоугольник можно вписать в окружность, радиус которой однозначно определит длину стороны многоугольника, тогда эту формулу можно записать через соответствующий радиус r:
Эту формулу легко получить из предыдущей, если учесть, что радиус r описанной окружности через длину стороны a треугольника определяется выражением:
Задача на определение объема тетраэдра
Покажем, как использовать приведенные выше формулы при решении конкретных задач геометрии.
Известно, что тетраэдр имеет длину ребра 7 см. Найдите объем правильной треугольной пирамиды-тетраэдра.
Напомним, что тетраэдр является правильной в которой все основания равны между собой. Чтобы воспользоваться формулой объема треугольной, необходимо вычислить две величины:
- длину стороны треугольника;
- высоту фигуры.
Первая величина известна из условия задачи:
Чтобы определить высоту, рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке.
Отмеченный треугольник ABC является прямоугольным, где угол ABC равен 90 o . Сторона AC - это гипотенуза, длина которой равна a. Путем несложных геометрических рассуждений можно показать, что сторона BC имеет длину:
Заметим, что длина BC является радиусом описанной вокруг треугольника окружности.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
Теперь можно h и a подставить в соответствующую формулу для объема:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Таким образом, мы получили формулу объема тетраэдра. Видно, что объем зависит только от длины ребра. Если в выражение подставить значение из условия задачи, тогда получаем ответ:
V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 см 3 .
Если сравнить эту величину с объемом куба, имеющим такое же ребро, то получим, что объем тетраэдра в 8,5 раз меньше. Это свидетельствует о том, что тетраэдр является компактной фигурой, которая реализуется в некоторых природных веществах. Например, молекула метана имеет тетраэдрическую форму, а каждый атом углерода в алмазе соединен с четырьмя другими атомами, образующими тетраэдр.
Задача с гомотетичными пирамидами
Решим одну любопытную геометрическую задачу. Предположим, что имеется треугольная правильная пирамида с некоторым объемом V 1 . Во сколько раз следует уменьшить размеры этой фигуры, чтобы получить гомотетичную ей пирамиду с объемом, в три раза меньшим исходного?
Задачу начнем решать с записи формулы для исходной правильной пирамиды:
V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .
Пусть необходимый по условию задачи объем фигуры получится, если умножить ее параметры на коэффициент k. Имеем:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Поскольку из условия известно отношение объемов фигур, то получаем значение коэффициента k:
k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.
Отметим, что аналогичное значение коэффициента k мы бы получили для пирамиды произвольного типа, а не только для правильной треугольной.
Определение. Боковая грань - это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).
Определение. Боковые ребра - это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.
Определение. Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.
Определение. Апофема - это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.
Определение. Диагональное сечение - это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.
Определение. Правильная пирамида - это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.
Объём и площадь поверхности пирамиды
Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:
Свойства пирамиды
Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).
Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.
Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.
Свойства правильной пирамиды
1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.
2. Все боковые ребра равны.
3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.
4. Апофемы всех боковых граней равны.
5. Площади всех боковых граней равны.
6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.
7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.
8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.
9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n , где n - это количество углов в основании пирамиды.
Связь пирамиды со сферой
Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.
Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.
В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.
Связь пирамиды с конусом
Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.
Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.
Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.
Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.
Связь пирамиды с цилиндром
Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.
Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.
Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол .
Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).
Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).
Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.
Определение. Остроугольная пирамида - это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.
Определение. Тупоугольная пирамида - это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.
Определение. Правильный тетраэдр - четырехгранник у которого все четыре грани - равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.
Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.
Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание - правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.
Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.
Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.
